Teoría de colas el estudio de las líneas de espera que se producen cuando llegan clientes demandando un servicio, esperando si no se les puede atender inmediatamente y partiendo cuando ya han sido atendidos .El creador de la Teoría de Colas fue el matemático danés A. K. Erlang por el año 1909. Se puede aplicar en problemas relacionados con redes de teléfonos, aeropuertos, puertos, centros de cálculo, supermercados, venta mediante máquinas, hospitales, gasolineras entre otros.
Este sistema está formado por un
conjunto de entidades en paralelo que proporcionan un servicio a las transacciones que
aleatoriamente entran al sistema. Dependiendo del sistema que se trate, las entidades
pueden ser cajeras, máquinas, semáforos, grúas, el tiempo de servicio como las
entradas al sistema son fenómenos que generalmente tienen asociadas fuentes de variación
que se encuentran fuera del control del tomador de decisiones, de tal forma que se hace
necesaria la utilización de modelos estocásticos que permitan el estudio de este tipo de
sistemas.
Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable
aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado; el
conjunto de valores que puede tomar dicha variable es {O, 1, 2, . . . , N\ y cada uno de ellos
tiene asociada una probabilidad de ocurrencia.
En las líneas de espera, existen dos costos perfectamente identificados: el costo de las
transacciones, que representa la cuantificación monetaria de la pérdida de tiempo al esperar
recibir un servicio o la pérdida de clientes por abandono del sistema, y el costo de
proporcionar el servicio, que representa la cantidad de dinero que hay que pagar por
cuestión de sueldos y salarios, energía, mantenimiento y depreciación del personal o equipo.
De tal forma que en un estudio de líneas de espera el objetivo es determinar qué nivel de
servicio, ya sea por cantidad de entidades o por la velocidad de ellas, proporcionar para
minimizar el costo total del sistema. Este costo está formado tanto por costo de servicio
como por el que causa la espera. Matemáticamente podemos representarlo de la siguiente
forma:
Esquema de optimización de una línea de espera.
Un sistema de espera se representa mediante la llegada de transacciones a un sistema con el
fin de recibir un servicio por cualquiera de una o más entidades dispuestas para ello,
conocidas como servidores.
Servidores
Representan al mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el
servicio deseado. Estas entidades se encuentran dispuestas en forma paralela a la fila, de tal
manera que las transacciones pueden seleccionar a cualquiera de ellas para el suministro de
dicho servicio.
características:
Las dos características principales de los servidores son: la cantidad
asignada por cada fila existente en el sistema y la distribución de probabilidad del tiempo de
atención a las transacciones o de la velocidad de servicio; dentro de las distribuciones más
comunes están la exponencial, la Erlang, la hiperexponencial, la degenerada.
Transacciones potenciales representan el número total de clientes que podrían requerir el servicio proporcionado por
el sistema y es necesario definir dos características para este conjunto de elementos; la primera tiene que ver con el tamaño del conjunto potencial de clientes, dando, en
consecuencia, conjuntos limitados o finitos y en otros casos conjuntos ilimitados o infinitos.
La segunda caracterísitica se refiere a la distribución de probabilidad del tiempo entre
llegadas o bien a la tasa de entrada promedio.
El proceso Poisson, ocurre cuando las llegadas a un sistema se
llevan a cabo de forma aleatoria; es importante hacer notar que una de las propiedades de
esta distribución es su relación con el tiempo entre llegadas consecutivas, que se representa
en forma paralela, de acuerdo con un proceso de tipo exponencial.
Fila
Is el conjunto de transacciones que espera ser atendido por alguno de los servidores del
sistema. Una fila tiene tres características principales: 1.-Se refiere a la capacidad, es decir , al número máximo de transacciones que pueden permanecer en ella en un mismo
instante y de acuerdo con este número se clasifican como finitas o infinitas. Hay que hacer
notar que en el caso de los modelos con tamaño finito, la solución es mucho más fácil de
encontrar a partir de las ecuaciones generales ya que la solución del modelo se reduce a un sistema de ecuaciones
simultáneas y a la evaluación de las medidas de desempeño mediante promedios ponderados, en el caso de modelos de tipo ilimitado o infinito, es necesario recurrir a la solución
del sistema de ecuaciones así como a la evaluación de las medidas de desempeño y a algunas series
geométricas que dificultan en cierto grado el manejo algebraico de la solución. 2.-El orden en que las transacciones son extraídas de la fila para su atención, en ese
caso podemos encontrar: primeras llegadas, primeros servicios, por prioridad, aleatorio, etcétera y,
por último/la forma de salir de la fila, que puede darse mediante el proceso de servicio o bien,
mediante el abandono por factores como desesperación, hastío, entre otros.
Nomenclatura
CLASIFICACIÓN DE KENDALL Y LEE
La notación de Kendall-lee sirve para caracterizar un
sistema de líneas de espera en el cual todas las llegadas esperan en una sola
cola hasta que está libre uno de los servidores paralelos idénticos. Luego el
primer cliente en la cola entra al servicio, y así sucesivamente.
En 1953 Kendall y Lee propusieron un sistema de clasificación de los sistemas de líneas de
espera, ampliamente utilizado en la actualidad. Esta clasificación considera seis de las
características mencionadas en la estructura de los modelos de líneas de espera,
expresándolas en el formato (a / b I c) (d I e I f), donde:
a distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las
transacciones. b distribución de probabilidad del tiempo de servicio.
La primera característica especifica la naturaleza del
proceso de llegada. Se utilizan las abreviaturas estándar siguientes:
M: los tiempos entre llegadas son variables aleatorias
independientes e idénticamente distribuidas (iid) cuya distribución es exponencial.
D= los tiempos entre llegadas son (iid) deterministas.
Ek= los tiempos entre llegadas son Erlangs (iid) con parámetro de forma k.
GI= los tiempos entre llegadas son (iid) y están regidos por una distribución general.
La segunda característica especifica la naturaleza de los
tiempos de servicio:
M: los tiempos de servicio son iid y están distribuidas
exponencialmente.
D= los tiempos de servicio son iid deterministas.
Ek= los tiempos de servicio son Erlangs iid con parámetro de forma k.
GI= los tiempos de servicio son iid y están regidos por una distribución general.
La tercera característica es la cantidad de servidores en
paralelo.
La cuarta característica es la disciplina del servicio:
FCFS= El primero en llegar, primero en ser atendido.
LCFS= El último en llegar, primero en ser atendido.
SIRO= Servicio en orden aleatorio.
GD= Disciplina general.
La quinta característica especifica el número máximo
admisible de clientes en el sistema (incluidos los clientes que están esperando
y los que están en el servicio).
La sexta característica da el tamaño de la población de
donde se extraen los clientes. A menos que la cantidad de clientes potenciales
sea del mismo orden de magnitud que el número de servidores, la población se
considera infinita.
En muchos modelos importantes 4/5/6 es GD/∞/∞. Entonces
estas características generalmente se omiten[1].
Los símbolos utilizados en estos dos primeros campos son:
Por ejemplo, un modelo (M/D/3) (FCFS/20/20) representa la clasificación de un sistema donde
existen 3 servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas,
primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El sistema tiene sólo 20 clientes
potenciales, los cuales podrían encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El tiempo
entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y, en caso de llegar y encontrar
todos los servidores ocupados, pasan a formarse en una fila común.
En otro caso, un modelo
(M/M/l)(LCFS/oo/oo) es la clasificación de una línea de espera donde hay 1 servidor atendiendo
de acuerdo con un orden de últimas entradas, primeras salidas, con tiempo de servicio
exponencial. El sistema da servicio a un número infinito de clientes potenciales, mismos que al
llegar serán aceptados por el sistema. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una
distribución exponencial y en caso de llegar y encontrar al servidor ocupado, pasan a formarse
en una fila común.
Respetando la clasificación anterior, es posible agrupar los diferentes modelos de la forma
mostrada en la figura 2.3, donde se separan principalmente los modelos markovianos de los no
markovianos. Los markovianos se dividen en modelos con capacidad finita y modelos con
capacidad infinita, los no markovianos, a su vez, se clasifican en modelos con tiempos entre
llegadas exponenciales y tiempos de servicio con cualquier función de probabilidad, y en modelos
con tiempos entre llegadas y tiempos de servicio con cualquier tipo de distribución. Esta agrupación
se realiza en función del procedimiento matemático utilizado en la solución del modelo.
programa de simulación en arena.
ECUACIONES GENERALES
Las medidas de desempeño con que se trabaja en teoría de colas son principalmente las siguientes:
Utilización del servicio
Representa el porcentaje de tiempo en que los servidores atienden a los clientes y se calcula como la
razón entre la tasa promedio de llegadas y la capacidad total del sistema para proporcionar el
servicio.
Tasa de entrada promedio :Es el valor ponderado de las tasas de entrada a un sistema y representa el número promedio de
clientes que, efectivamente, ingresan al sistema convirtiéndose de clientes potenciales en clientes
reales. A su vez, esta variable es la tasa de salida del sistema; en el caso de sistemas de manufactura
esta variable representa la producción que en promedio está logrando el sistema.
Número promedio de clientes en el sistema
Es el promedio ponderado de los diferentes estados del sistema, definiendo el estado del sistema
como el número de clientes que se encuentran acumulados tanto en espera como en servicio en
cualquier momento.
fuente: Azarang M., Garcia E.
Mc. Graw Hill. México SIMULACIÓN Y ANÁLISIS DE
MODELOS ESTOCÁSTICOS
